De maten worden uitgedrukt als veelvouden van het kleine element.

De maten worden uitgedrukt als delen van het grote geheel.

De som van de twee kleinste van vier opeenvolgende maten is gelijk aan de grootste maat.

klein element + groot element = groot stuk

Klein element : groot element

3:4

Het verschil tussen de twee grootste van zes opeenvolgende maten is gelijk aan de kleinste maat. Dus het verschil tussen het grootste geheel en het kleine geheel ligt twee plaatsen voor het kleine deel.

Groot geheel – klein geheel = klein stuk

Het verschil tussen de twee grootste van zes opeenvolgende maten is gelijk aan de kleinste maat. Dus het verschil tussen het grootste deel en het kleine deel ligt twee plaatsen voor het klein stuk.

Groot deel – klein deel = klein element

We starten met de keuze 100 voor het kleine element van stelsel I. Dit is de eenheid.

Van hieruit zullen we eerst de getalwaarde afleiden voor het kleine element van stelsel II en III

Als het groot geheel van stelsel II bevat het klein element van stelsel I 7 keer het klein element van stelsel II, vermeerderd met het klein element van stelsel III.

7 keer het klein element van II + klein element van III = klein element van I

(7 x …) + klein element III = 100

(100 – klein element III) : 7 = 14

Als het groot geheel van stelsel III bevat het klein element van stelsel II 7 keer het klein element van stelsel III, vermeerderd met het klein element van stelsel IV, waarvan de laatste wordt verwaarloosd.

7x het klein element van III = klein element van II

7 x … = 14

14 : 7 = 2

De kleine elementen van stelsel I, II and III hebben dus de getalwaarden 100, 14 en 2, want 100 = 7 x 14 + 2

De getalwaarden van de maten van stelsel III zijn nu gemakkelijk te bepalen.

Die van het grote geheel is 14, die van het kleinste element is 2.

Het grote geheel bevat 4 maal het kleine stuk.

4 x … = 14

14 : 4 = 3,5

Met behulp van de twee regels, namelijk dat van 4 opeenvolgende maten de som van de twee kleinste gelijk is aan de grootste en dat van 6 opeenvolgende maten het verschil van de twee grootste gelijk is aan de kleinste, kunnen de getalwaarden van de overige maten gemakkelijk bepaald worden. 

Het verschil van grote en kleine geheel is 3,5.

14 – … = 3,5

14 – 3,5 = 10,5

Met behulp van de twee regels, namelijk dat van 4 opeenvolgende maten de som van de twee kleinste gelijk is aan de grootste en dat van 6 opeenvolgende maten het verschil van de twee grootste gelijk is aan de kleinste, kunnen de getalwaarden van de overige maten gemakkelijk bepaald worden. 

Van het grote en kleine deel is het verschil 2 en de som 14.

14 – 2 = 12

12 : 2 = 6 (klein deel)

6 + …  = 14

14 – 6 = 8 (groot deel)

Het grote stuk is samen met het kleine deel gelijk aan het kleine geheel.

6 + … = 10,5

10,5 – 6 = 4,5 (groot stuk)

Het grote element tenslotte is samen met het kleine stuk gelijk aan het kleine deel.

3,5 + … = 6

6 – 3,5 = 2,5

Op dezelfde wijze kunnen getalwaarden worden vastgesteld van de maten van stelsel II, maar nu met inachtneming van de kleine kwantums uit stelsel III.

Het grote geheel heeft de waarde 100 en het kleine element de waarde 14.

Het grote geheel omvat viermaal het kleine stuk, vermeerderd met het klein element van stelsel III.

(4 x …) + 2 = 100

(100 – 2) : 4 = 24,5

De som van de twee kleinste maten van 4 opeenvolgende maten is gelijk aan de grootste en het verschil van de twee grootste maten van 6 opeenvolgende maten is gelijk aan de kleinste.

Het verschil van het grote en kleine geheel is 24,5

100 – … = 24,5

100 – 24,5 = 75,5

De som van de twee kleinste maten van 4 opeenvolgende maten is gelijk aan de grootste en het verschil van de twee grootste maten van 6 opeenvolgende maten is gelijk aan de kleinste.

Het verschil van het grote en kleine deel is 14, hun som 100.

100 – 14 = 86

86 : 2 = 43 (klein deel)

43 + …  = 100

100 – 43 = 57 (groot deel)

Het grote stuk is samen met het kleine deel gelijk aan het kleine geheel.

43 + … = 75,5

75,5 – 43 = 32,5

Het grote element, tenslotte, is samen met het kleine stuk gelijk aan het kleine deel.

24,5 + … = 43

43 – 24,5 = 18,5

Nu kunnen de getalwaarden van de maten van stelsel I worden bepaald met inachtneming van de kleine kwantums uit de twee lagere stelsels II en III.

Het grote geheel omvat 7 maal het kleine element met de waarde 100, vermeerderd met het kleine element van stelsel II en III.

(7 x 100) + 14 + 2 = 716

Het grote geheel omvat 4 maal het kleine stuk vermeerderd met het klein element van stelsel II.

(4 x …) + 14 = 716

(716 – 14) : 4 = 175,5

De som van de twee kleinste maten van 4 opeenvolgende maten is gelijk aan de grootste en het verschil van de twee grootste maten van 6 opeenvolgende maten is gelijk aan de kleinste.

Het verschil van het grote en kleine geheel is 175,5

716 – … = 175,5

716 – 175,5 = 540,5

De som van de twee kleinste maten van 4 opeenvolgende maten is gelijk aan de grootste en het verschil van de twee grootste maten van 6 opeenvolgende maten is gelijk aan de kleinste.

Het verschil van het grote en kleine deel is 100, hun som 716.

716 – 100 = 616

616 : 2 = 308 (klein deel)

308 + … = 716

716 – 308 = 408 (groot deel)

Het grote stuk is samen met het kleine deel gelijk aan het kleine geheel.

308 + … = 540,5

540,5 – 308 = 232,5

Het grote element, tenslotte, is samen met het kleine stuk gelijk aan het kleine deel.

175,5 + … = 308

308 – 175,5 = 132,5

Of het grote element is een klein element kleiner dan het groot stuk.

232,5 – 100 = 132,5

De verhouding tussen de maten van een afgeleid stelsel verschilt niet van de verhouding tussen de maten van een authentiek stelsel. De afgeleide maten vormen onderling eveneens een meetkundige reeks met een verhouding die, evenals bij de authentieke maten, gelijk is aan de grondverhouding.

Iedere afgeleide maat staat in een vaste verhouding met de authentieke maat waarvan zij is afgeleid, en deze verhouding  is gemakkelijk telkundig uit te drukken.

Het verschil tussen het grote geheel en zijn afgeleide is gelijk aan het klein element en dit kleine element is tevens het grote geheel van het onderliggende stelsel.

Groot geheel – zijn afgeleide = klein element

716 – … = 100

716 – 100 = 616

Het grote geheel is dus zijn overeenkomstige maat uit het onderliggende stelsel groter dan zijn afgeleide, en dit geldt voor alle maten.

Omdat de maten van een stelsel allen zevenmaal zo groot zijn als hun overeenkomstige maat uit het lagere stelsel, is dus iedere afgeleide maat 6/7 van haar authentieke maat.

Ook weten wij dat iedere afgeleide maat het zuivere tweevoud is van een lagere authentieke maat, want telkens is van vier opeenvolgende maten het dubbele van de kleinste maat gelijk aan de afgeleide van de grootste maat.

100 x 2 = 200

200 is de afgeleide van 232,5

Omdat de maten van een stelsel allen zevenmaal zo groot zijn als hun overeenkomstige maat uit het lagere stelsel, is dus iedere afgeleide maat 6/7 van haar authentieke maat.

Ook voor de twee opeenvolgende afgeleide stelsels Ia en IIa kunnen nu de getalwaarden der maten worden vastgesteld. Wij behoeven daarvoor slechts van ieder authentieke maat de overeenkomstige maat uit het onderlinge stelsel af te trekken.

Groot element I – groot element II = de afgeleide van groot element Ia

132,5 – 18,5 = 114

Omdat de maten van een stelsel allen zevenmaal zo groot zijn als hun overeenkomstige maat uit het lagere stelsel, is dus iedere afgeleide maat 6/7 van haar authentieke maat.

We creëren het afgeleide stelsel Ia

Afgeleide stelsel Ia

Afgeleide stelsel IIa

Afgeleide stelsel IIIa

In de getalwaarde van het kleinste geheel is het vijfvoud van het kleinste element te herkennen, vermeerderd met het grote stuk van stelsel II en het grote deel van stelsel III.

(5 x klein element I) + groot stuk II + groot deel III = klein geheel I

(5 x 100) + 32,5 + 8 = 540,5

In de getalwaarde van het grote deel is het viervoud te herkennen van het kleine element, vermeerderd met het grote deel van stelsel III.

(4 x klein element) + groot deel III = groot deel I

(4 x 100) + 8 = 408

In de getalwaarde van het grote deel is het drievoud te herkennen van het kleine element, vermeerderd met het grote deel van stelsel III.

(3 x klein) + groot deel III = groot deel I

(3 x 100) + 8 = 408